Mając dany wykres funkcji jednej zmiennej o wartościach rzeczywistych można odczytać miejsca zerowe funkcji, punkty ekstremalne i osobliwe oraz ustalić własności takie jak monotoniczność czy okresowość. Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji g oraz zapiszemy jej wzór. To znaczy, że możesz po kliknięciu w niego, przesunąć Przegląd Broker TrioMarkets: chipy, regulacje prawne, prawdziwe opinie go kursorem myszki wzdłuż osi x i y. Natomiast, używając scrolla myszki, zmienisz skalę wykresu. Cały wykres leży nad osią Ox, więc nie ma punktów wspólnych z tą osią. Właśnie z przesunięciami w lewo/w prawo wiąże się najwięcej trudności, bo na pierwszy rzut oka wydają się one mniej intuicyjne jeśli chodzi o zapisywanie wzoru.
Przekształcenia wykresów funkcji
Pamiętaj, że mając przesunięcie w lewo musimy w nawiasie dać znak dodawania, a mając przesunięcie w prawo dajemy w nawiasie znak odejmowania, mimo iż intuicja podpowiadałaby odwrotny mechanizm. Przesunięcia w lewo/w prawoSpójrzmy teraz na nowy rysunek, na którym znajduje się funkcja \(f(x)\), względem której powstały dwie nowe funkcje \(i(x)\) oraz \(j(x)\). Przekształcenia wykresów funkcji to temat, który bardzo często pojawia się na maturze i który jednocześnie sprawia sporo problemów. Spróbujmy zatem omówić wszystkie kluczowe aspekty związanie z przekształceniami, tak aby rozwiać wszelkie wątpliwości.
Prosty program do rysowania/szkicowania wykresów funkcji jednej zmiennej
Jedną z ważniejszych obserwacji jest dostrzeżenie, że każde takie przekształcenie zmienia kluczowe parametry danej funkcji np. Dziedzinę, zbiór wartości, miejsca zerowe, miejsca przecięcia się z osiami czy też położenie innych charakterystycznych punktów. Przesunięcia w górę/w dółTo zdecydowanie najłatwiejszy do omówienia rodzaj przekształcenia. Spójrzmy na poniższy rysunek, na którym znajduje się funkcja \(f(x)\), która jest naszym punktem wyjścia oraz dwie nowe funkcje \(g(x)\) oraz \(h(x)\), które powstały w wyniku dokonania pewnych przesunięć.
Wykresy funkcji
Tym razem funkcja \(f(x)\) została przesunięta w lewo o \(3\) jednostki, tworząc nową funkcję \(i(x)\), a gdy przesunęliśmy ją w prawo o \(2\) jednostki to powstała nam funkcja \(j(x)\). Widać to bardzo dobrze po miejscach przecięcia się z osią \(OX\) lub też po wierzchołku paraboli. Tu przy okazji mała Handlu Na Giełdzie Siä Handlu Dla Początkujących podpowiedź – analizując przesunięcia/przekształcenia, dobrze jest zwracać uwagę na najbardziej charakterystyczne punkty wykresu danej funkcji. W powyższym przykładzie takim idealnym odniesieniem był wierzchołek paraboli, ale mogą to być też miejsca przecięcia się z osią czy też różne załamania wykresu.
Wykresy wielomianów: zadania z wyzwania
Na podstawie wykresu funkcji przestawionego na rysunku, narysuj wykres funkcji . Na podstawie wykresu funkcji przedstawionego na rysunku, narysuj wykres funkcji . Na podstawie wykresu funkcji przedstawionego na rysunku, narysuj wykres funkcji . Odbijamy symetrycznie względem osi , te wartości funkcji, które znajdują się poniżej tej osi.
Funkcja wykładnicza i jej własności. Przekształcanie wykresu funkcji wykładniczej
Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu , przesuwamy ten wykres o jednostek w lewo. Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu , przesuwamy ten wykres o jednostek w prawo. Kalkulator funkcji umożliwia rysowanie wykresów dowolnych funkcji wprowadzonych przez użytkownika. Domyślnie funkcja rysowana jest w przedziale (-∞,∞), jednak możesz podać również własny przedział dla zmiennej x. Przesunięcie kursora myszki po kliknięciu w wykres pozwala na jego przesunięcie wzdłuż osi x i y.
- Podaj podstawę i wykładnik potęgi, a nasz kalkulator błyskawicznie poda Ci wynik.
- Pamiętaj, że mając przesunięcie w lewo musimy w nawiasie dać znak dodawania, a mając przesunięcie w prawo dajemy w nawiasie znak odejmowania, mimo iż intuicja podpowiadałaby odwrotny mechanizm.
- Narysujemy otrzymany w ten sposób wykres funkcji g oraz zapiszemy jej wzór.
- W powyższym przykładzie takim idealnym odniesieniem był wierzchołek paraboli, ale mogą to być też miejsca przecięcia się z osią czy też różne załamania wykresu.
- To znaczy, że możesz po kliknięciu w niego, przesunąć go kursorem myszki wzdłuż osi x i y.
Rysowanie wykresu funkcji
Każde z takich przesunięć powoduje nam zmianę wzoru funkcji. Jeżeli nie dostrzegasz za bardzo tych zależności, to poniżej możesz zobaczyć takie proste zobrazowanie tej całej sytuacji. Oczywiście nie wiemy jak dokładnie wygląda funkcja \(f(x)\), więc ten rysunek jest bardzo umowny, ale pozwoli on zrozumieć dlaczego zmienił się zbiór wartości funkcji \(g(x)\), a nie zmienił funkcji \(h(x)\). Nasze wnioski na temat różnych funkcji nie muszą się ograniczać tylko do samego określania przesunięć.
Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu odbijamy symetrycznie względem osi , te wartości funkcji, które znajdują się pod osią . Zaproponuj jakie kolejne trzy przekształcenia należy wykonać, aby na podstawie wykresu funkcji (na rysunku zaznaczony niebieskim kolorem) otrzymać wykres funkcji na rysunku Hetty Zielony zaznaczony czerwonym kolorem. Sytuacja zaprezentowana na powyższym rysunku jest właśnie klasycznym przykładem przesunięć/przekształceń wykresu funkcji. Jak takie przekształcenia mogą wyglądać i jaki ma to wpływ na wzory oraz wykresy takich funkcji. Znajdź punkt przecięcia wykresu funkcji f z osią Oy.
Funkcja \(h(x)\) będzie przyjmować dokładnie takie same wartości jak funkcja \(f(x)\), tylko będzie się to działo dla innych argumentów. W takim razie zbiorem wartości funkcji \(h(x)\) będzie przedział \(\langle-3;5\rangle\). Nasz generator umożliwia rysowanie wykresu funkcji liniowej lub innej wprowadzonej przez użytkownika.
Podsumujmy teraz własności funkcji wykładniczych, wykorzystując ich wykresy. W tym celu uzupełnijmy tabelę wartościami funkcji dla kilku wybranych argumentów. Wykres funkcji zaznaczony czerwonym kolorem, to wykres funkcji . A to jeszcze nie wszystko, bo wykres narysowany przez generator wykresów funkcji możesz zapisać jako plik graficzny w formacie PNG. W tym celu kliknij w przycisk pod legendą “zapisz wykres jako obraz”.
To teraz funkcja \(h(x)\), która jak widzimy po wzorze, jest przesunięta o \(3\) jednostki w prawo. Jak takie przesunięcie wpłynie na zbiór wartości? Okazuje się, że takie przesunięcie w ogóle nie wpłynie na zbiór wartości.
Z osią Ox wykres funkcji nie przecina się, ponieważ cały leży nad tą osią. Rysowanie wykresu funkcji liniowej sprawia Ci trudność? Narzędzie na podstawie wprowadzonych danych stworzy wykres dowolnej funkcji, choćby takiej jak wspomniana już funkcja liniowa. Następnie musisz wydać polecenie “rysuj funkcje” i gotowe. Wyposażona w taką możliwość aplikacja okaże się niezastąpionym wsparciem dla ucznia, nauczyciela i każdego, kto ma do czynienia z funkcjami matematycznymi. Gdy chcemy przesunąć ten wykres to możemy to zrobić w prawo, w lewo, w górę lub w dół.
Na podstawie wykresu funkcji z Rys.1, narysuj wykres funkcji . Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu , odbijamy ten wykres symetrycznie względem osi . Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu , przesuwamy ten wykres o jednostek w dół . Rysując wykres funkcji na podstawie wykresu , przesuwamy ten wykres o jednostek w górę.
W razie potrzeby możesz też wyczyścić wykresy. Rysowanie rozpocznie się wtedy od nowa w oparciu o wprowadzone ponownie dane. Podaj podstawę i wykładnik potęgi, a nasz kalkulator błyskawicznie poda Ci wynik.
Domyślnie funkcję liniową kalkulator rysuje w przedziale (-∞,∞). Nic jednak nie stoi na przeszkodzie, by dodać własny przedział dla zmiennej x. Uzyskać wykres funkcji e, wystarczy, że wpiszesz wybrane wartości we wskazane pola. Po wprowadzeniu wszystkich danych, rysuj wykres funkcji, klikając zielony przycisk. Kalkulator na ich podstawie stworzy i wyświetli poniżej wykresy. Rysowanie może zostać wykonane dla 100 różnych funkcji, które zostaną przedstawione na jednym wykresie.